การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจริงแล้วไม่ยากน่ะคับ  เป็นเรื่องที่ง่ายๆ แต่เวลาอ่านเราต้องหัดสังเกต และคิดตามว่าทำไมเขาถึงทำอย่างนั้น ทำไมต้องเอาสองมาคูณสมการนี้  ทำไมถึงเอาสมการนี้ลบด้วยสมการโน้น เราต้องหัดสังเกตและคิดตามว่าทำไม ถ้าเรารู้เหตุผลแล้วทำไม ถึงต้องทำเช่นนั้น มันจะทำให้เรารู้แนวทางในการทำโจทย์ ต่อไปไม่ว่าโจทย์จะออกมาลักษณะไหนเราก็จะทำได้




 เพราะรู้แนวทางแล้ว...ต่อไปนี้ผมจะขอยกตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นไกด์ไลน์ให้ดูน่ะ ...พยายามอ่านให้เข้าใจ...และคิดตามไปด้วยน่ะ...ผมจะเริ่มจากข้อที่ง่ายๆและจะเริ่มเพิ่มความยากขึ้นเรื่อยๆน่ะ   เรื่องนี้ผมได้เขียนให้อ่านหลายตอนแล้วน่ะ ส่วนใครที่พึ่งเข้ามาอ่าน แนะนำให้เปิดอ่านตามลิงค์นี้ก่อนน่ะ ผมเขียนปูพื้นให้อย่างละเอียดเลย ยังไงก็ลองไปอ่านดูน่ะเผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น และทำข้อสอบได้   

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมีหลายวิธีน่ะคับ แต่ผมจะยกตัวอย่างให้ดูสัก 2 วิธี น่ะ แค่สองวิธีก็น่าจะเพียงพอที่จะทำข้อสอบได้แล้ว ที่สำคัญก็คือเวลาเจอโจทย์นักเรียนต้องเลือกให้ถูกว่าจะใช้วิธีไหนดีในการที่จะแก้โจทย์

วิธีที่ 1 ผมขอเรียกว่า วิธีแทนค่า

วิธีที่ 2 ผมขอเรียนกว่า  วิธีการกำจัดตัวแปร

มาดูกันเลยคับ

1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1.1

x−2y=9$x-2y=9$

4x−3y=6$4x-3y=6$

วิธีทำ ก่อนอื่นเราต้องตั้งชื่อให้กับสมการก่อนน่ะ

ให้ x−2y=9$x-2y=9$   ชื่อว่าสมการที่ (1)

4x−3y=6$4x-3y=6$ ชื่อว่าสมการที่ (2)

ต่อไปให้ไปดูที่ (1) คือดูที่

x−2y=9$x-2y=9$  ลองย้ายข้างสมการดูน่ะ ให้ x มันอยู่คนเดียว จะได้

x=9+2y$x=9+2y$  เราให้สมการที่เกิดจากการย้ายข้างนี้ชื่อว่าสมการที่ (3) จากบรรทัดนี้เรารู้อะไรบ้าง...เรารู้ว่า x มันเท่ากับ เก้าบวกสองวาย ต่อไปเราก็นำค่า x ที่เรารู้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ (2)

จากสมการที่ (2) คือ

4x−3y=6$4x-3y=6$ จากที่เรารู้ว่า x=9+2y ดังนั้นเราก็แทน x ในสมการที่(2)นี้ด้วย 9+2y จะได้

4(9+2y)−3y=6$4(9+2y)-3y=6$  เอา 4 คูณเข้าไปในวงเล็บ

36+8y−3y=6$36+8y-3y=6$

5y+36=6$5y+36=6$

5y=6−36$5y=6-36$

5y=−30$5y=-30$

y=−305$y=\frac{-30}{5}$

y=−6$y=-6$

เมือได้ค่าของ y แล้วต่อไปก็หาค่าของ x คับ

แทน y ด้วย -6 ในสมการที่(1) หรือที่(2) หรือที่(3) ก็ได้น่ะเลือกมาสักหนึ่งสมการคับ ผมเลือกสมการที่(1)แล้วกันคับจะได้

จากสมการที่(1) คือ x−2y=9$x-2y=9$ แทน y ด้วย -6 จะได้

x−2(−6)=9$x-2(-6)=9$

x+12=9$x+12=9$

x=9−12$x=9-12$

x=−3$x=-3$

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการนี้คือ x=−3$x=-3$และ y=−6$y=-6$

สาระสำคัญ ที่อยากบอกและอยากชี้ให้เห็น ให้นักเรียนอ่านดีๆแล้วคิดตามน่ะ

ข้อที่1.1 นี้ ผมใช้วิธีที่ 1 คือวิธีแทนค่า ในการแก้โจทย์ข้อนี้  หลายคนคงสงสัยว่าแทนค่ายังไง...แทนค่าอย่างนี้คับ

จากสมการที่ (1) คือ x−2y=9$x-2y=9$ ถ้าเราลองย้ายสมการดูน่ะเราก็จะได้

x=9+2y$x=9+2y$  จากบรรทัดนี้คือเรารูู้ค่าของ x ไง คือเรารู้ว่าเอ็กซ์เท่ากับเก้าบวกสองวาย เราก็นำค่าของ x ที่เรารู้นี่แหล่ะไปแทนค่าลงในสมการที่(2) นี่แหละเป็นที่ไปที่มาของวิธีที่เรียกว่า วิธีแทนค่า พอแทนค่าแล้วก็จะได้ ดังนี้

จากสมการที่ (2) คือ 4x−3y=6$4x-3y=6$ แทน x ด้วย 9+2y จะได้

4(9+2y)−3y=6$4(9+2y)-3y=6$  จากบรรทัดนี้พอเราแทน x ด้วย 9+2y ตัวแปร x หายไปแล้วไม่มีแล้วเหลือแค่ตัวแปรวายดังนั้นเราก็สามารถแก้สมการหาค่า y ได้  อธิบายมาถึงตรงนี้แล้ว   คิดว่าหลายคนคงเข้าใจมากขึ้นน่ะ...ต่อไปก็จะขอยกตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้วิธีที่ 2 คือวิธีการกำจัดตัวแปร

1.2

2x+4y=12$2x+4y=12$

2x+8y=10$2x+8y=10$

วิธีทำ ผมจะแก้โจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรข้อนี้โดยใช้วิธีที่ 2 คือวิธีการกำจัดตัวแปร ทำไมถึงใช้วิธีนี้...มาดูกันเลย

2x+4y=12$2x+4y=12$  ให้ชื่อว่าสมการที่(1)

2x+8y=10$2x+8y=10$   ให้ชื่อว่าสมการที่(2)

จากสมการที่(1)และสมการที่(2) จะเห็นว่ามีพจน์ที่เหมือนกันคือ 2x ถ้าเรานำสมการที่(1)ลบกับสมการที่(2) ก็จะเกิดเหตูการณ์ 2x-2x ขึ้น นั่นคือ 2x-2x=0 เมื่อมันเป็นศูนย์ตัวแปร x ก็จะหายไปใช่ป่าว นี่แหล่ะจึงเป็นที่ไปที่มาของวิธีที่เรียกว่า การกำจัดตัวแปร

มาดูวิธีการทำข้อนี้กันเลยคับ

นำสมการที่(1)-สมการที่(2) จะได้  การนำสมการที่หนึ่งลบสมการที่สองก็คือเอาฝั่งซ้ายของสมการที่หนึ่งลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่สอง และ เอาฝั่งขวาของสมการที่หนึ่งลบกับฝั่งขวาของสมการที่สองคับ

จะได้

(2x+4y)−(2x+8y)=12−10$(2x+4y)-(2x+8y)=12-10$  เอาลบคูณเข้าไปในวงเล็บคับ จะได้

2x+4y−2x−8y=2$2x+4y-2x-8y=2$  จัดพจน์นิดหนึ่งคับ

2x−2x+4y−8y=2$2x-2x+4y-8y=2$

0−4y=2$0-4y=2$ เห็นไหม 2x-2x=0 ตัวแปร x หายไปแล้ว นี่แหล่ะเรียกว่าการจำจัดตัวแปร

−4y=2$-4y=2$

y=2−4$y=\frac{2}{-4}$

y=−12$y=-\frac{1}{2}$

ได้ค่า y แล้วต่อไปก็ค่า x บ้าง วิธีการหาค่า x ทำได้ดังนี้

แทน y ด้วย −12$-\frac{1}{2}$ในสมการที่(1)หรือ(2) ก็ได้เลือกมาสักหนึ่งสมการผมเลือกสมการที่(1)แล้วกัน

จากสมการที่(1)คือ 2x+4y=12$2x+4y=12$ แทน y ด้วย −12$-\frac{1}{2}$ จะได้

2x+4(−12)=12$2x+4(-\frac{1}{2})=12$

2x−2=12$2x-2=12$

2x=12+2$2x=12+2$

x=142$x=\frac{14}{2}$

x=7$x=7$

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ x=7$x=7$และy=−12$y=-\frac{1}{2}$

เป็นไงบ้างคับ การแก้สมการโดยวิธีการกำจัดตัวแปร...หวังว่านักเรียนทุกคนคงเข้าใจน่ะ...สู้ๆ ไม่เข้าใจถามได้

1.3

x−34y=12$\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}$

2x+32y=13$\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}$

วิธีทำ ให้

x−34y=12$\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}$   เป็นสมการที่ (1)

2x+32y=13$\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}$  เป็นสมการที่ (2)

จัดรูปสมการที่(1) ใหม่ให้มันดูเรียบร้อยกว่าที่เป็นอยู่นิดหนึ่งคับ

จากสมการที่(1)คือ x−34y=12$\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}$  จัดใหม่นิดหนึ่ง

x−3=12(4y)$x-3=\frac{1}{2}(4y)$  ตัดทอนกันได้น่ะ

x−3=2y$x-3=2y$  จัดรูปเสร็จแล้วได้สมการที่เรียนร้อยขึ้นตั้งชื่อให้มันว่าสมการที่(3)

ต่อไปก็จัดรูปสมการที่(2)ใหม่ให้มันดูเรียบร้อยกว่าที่เป็นอยู่นิดหนึ่ง

จากสมการที่(2)คือ 2x+32y=13$\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}$ จัดใหม่นิดหนึ่งจะได้

2x+3=13(2y)$2x+3=\frac{1}{3}(2y)$  จัดรูปเสร็จแล้วให้ชือว่าสมการที่ (4)

นำ 3 คูณสมการที่(4)  ทำไมถึงเอา 3 คูณคิดดูน่ะ จะได้

3(2x+3)=3(2y3)$3(2x+3)=3(\frac{2y}{3})$ ตัดทอนได้

6x+9=2y$6x+9=2y$ เอา 3 คูณเข้าไปแล้วได้สมการใหม่ให้ชื่อว่าสมการที่ (5)

นักเรียนสังเกตสมการที่(3) กับสมการที่(5) น่ะมีพจน์เหมือนกันคือ 2y ถ้าจับสมการที่ (3)-(5) ตัวแปร y จะหายไปหรือว่าถูกกำจัดไปใช่ป่าว...

นำ(3)-(5) จะได้

(x−3)−(6x+9)=2y−2y$(x-3)-(6x+9)=2y-2y$

x−3−6x−9=0$x-3-6x-9=0$

x−6x−3−9=0$x-6x-3-9=0$

−5x−12=0$-5x-12=0$

−5x=0+12$-5x=0+12$

x=−125$x=-\frac{12}{5}$

ได้ค่า x แล้วน่ะ ค่า y หาเองน่ะคับ เขียนมาถึงตรงนี้หวังว่าหลายๆคนคงจะเข้าใจน่ะ วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรหลักๆแล้วก็มีแค่สองวิธีเท่านั้นแหล่ะที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้นก็คือ

วิธีที่ 1  วิธีแทนค่า

วิธีที่ 2 วิธีกำจัดตัวแปร

อ้างอิง

https://www.youtube.com/watch?v=Bakr2MVA3Qg

http://www.mathpaper.net/index.php/4548trifpodsai43t584309t5i/295-35i324j2421340